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Analysis und Zahlentheorie: Vorlesung Hamburg 1920 by Erich Hecke (auth.), Prof. Dr. Peter Roquette (eds.)

By Erich Hecke (auth.), Prof. Dr. Peter Roquette (eds.)

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Auch im Excludenten m·d geht demnach allein ~ auf. Damit beherrschen wir die Zerlegung aller Primzahlen in diesen Karpern. Wir kannen jetzt auch zu einer Basis gelangen. Sei m = und A = l-Z;. ~ Satz: 1,A,A 2 , ... ,A ~-2 bilden eine Basis. Beweis: Diese GraBen sind linear unabhangig, sonst wUrde ~ einer Gleichung von niedrigerem als (~-l)-ten Grade genUgen. Ihre Anzahl ist ~(m) = ~-1. Also kann man jedes w mit rationalen r i ausdrUcken: w = ro + riA + ••• + r~_2A R. -2 Wenn w ganz ist, so kann dabei als Nenner in den r i hochstens die Diskriminante von A auftreten.

A ~-2 bilden eine Basis. Beweis: Diese GraBen sind linear unabhangig, sonst wUrde ~ einer Gleichung von niedrigerem als (~-l)-ten Grade genUgen. Ihre Anzahl ist ~(m) = ~-1. Also kann man jedes w mit rationalen r i ausdrUcken: w = ro + riA + ••• + r~_2A R. -2 Wenn w ganz ist, so kann dabei als Nenner in den r i hochstens die Diskriminante von A auftreten. Diese besteht aus Faktoren der Form A(i) - A(k), wo das irgend ein Paar aus dem System der Konjugierten ist; dies ist gleich - 37 1 - I;(i) - (1-I;(k)) = I;(k) - r;(i).

E (rl +r2), endlich die zu e(rl+ k ) (k = 1,2, ••• ,r2) konjugiert-komplexe Zahl mit e(rl+ k +r 2) bezeichnet. Die den betrachteten Kerper erzeugende Zahl e sei also irgend eine von di~sen rl + 2r2 = n Gre~en. Der Kerper K(e(i)) sei kurz mit K(~) bezeichnet. Dem System - 19 dieser Korper ordnen wir ein System von Zahlen ("Gewichten") zu, und zwar sei = { 1, wenn K(P) reell ist ep 2, wenn K(P) komplex. Da r+l = r 1 + r 2 ist, folgt r+l (10) L ep = n . p=l FUr irgend eine Zahl a des Korpers wird also, da konjugiertkomplexe Zahlen den gleichen Betrag haben: r+l n L e P 19la(p)1 = L 19la(p)1 = 19l N(a) I p=l p=l 1st nun a eine Einheit, so ist IN (a) I = 1, also fUr jede Einheit e: : r+l (11 ) L e p 19le:(p)1 = 0 p=l Nun bilde man die Determinan te t.

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